Πολλά έχουν λεχθεί και γραφτεί για τον Πυθαγόρα. Ποιος ήταν και τι ήταν ο Πυθαγόρας; Ήταν μαθηματικός, φιλόσοφος; Ήταν θαυματοποιός, ήταν θρησκευτικός αναμορφωτής; Ποιος είναι ο θρύλος και ποια είναι τα πραγματικά γεγονότα; Ποιες είναι οι μυθοπλασίες και ποια η ιστορία; Για να αναγνωρίσουμε το ιστορικό πρόσωπο πρέπει να καταφέρουμε να τα διαχωρίσουμε. Κείμενα Πυθαγορείων στην προσωκρατική εποχή δεν είναι γνωστά, οι πληροφορίες γίνονται πιο συγκεκριμένες, πιο ξεκάθαρες και πιο πολλές όσο περισσότερο πλησιάζουμε στα χρόνια μας. Όπως αναφέρει ο E. Zeller ήδη από τα τέλη του 19^ου αιώνα, όσο απομακρυνόμαστε χρονικά από την εποχή του Πυθαγόρα, τόσο παρατηρούμε να πληθαίνουν οι πληροφορίες γύρω από τον Πυθαγόρα, τη ζωή και τη φιλοσοφία του.^{[Mattéi1995, σελ 1]}

Για τη ζωή του έχουμε πληροφορίες από τους τελευταίους Πυθαγόρειους του 4^ου αιώνα πριν την αρχή της χριστιανικής χρονολόγησης (στο εξής: παχχ) τον Αριστόξενο από τον Τάραντα (354–300 παχχ), μαθητή του Αριστοτέλη, που παρουσίασε τις απόψεις μιας συγκεκριμένης ομάδας των Πυθαγορείων και έχει γράψει τα «Περί του Πυθαγορικού βίου», «Περί Πυθαγόρου και των γνωρίμων αυτού», «Πυθαγορικές αποφάσεις», το Δικαίαρχο από τη Μεσσήνη (370–300 παχχ), που έζησε στην ίδια περιοχή που έζησαν οι Πυθαγόρειοι, και συνέλεξε όποια μαρτυρία υπάρχει σχετικά με τους Πυθαγορείους, τον Τίμαιο από το Ταυρομένιο (μέσα 4^ου αιώνα παχχ), τον Ηρακλείδη τον Ποντικό (388–310 παχχ), μαθητή του Πλάτωνα (4^ος αιώνας παχχ) που έγραψε τα «Περί Πυθαγορείων», «Περί της άπνου», «Περί δικαιοσύνης», «Αβαρις».

Υπάρχουν επίσης τρεις βιογραφίες του Πυθαγόρα, του Διογένη Λαέρτιου (3^ος αιώνας μαχχ) «Πυθαγόρου βίος», του Πορφύριου (3^ος–4^ος αιώνας μαχχ, νεοπλατωνικός φιλόσοφος) «Περί του Πυθαγορικού Βίος» και του Ιάμβλιχου (3^ος–4^ος αιώνας μαχχ). Σχετικά με τις τρεις αυτές βιογραφίες του Πυθαγόρα (Διογένη, Πορφύριου, Ιάμβλιχου) ο καθηγητής φιλοσοφίας Θεόφιλος Βέικος γράφει: «Τα κείμενα αυτά … είναι τόσο αναξιόπιστα, ώστε να αναρωτιόμαστε πώς και από ποιες πηγές προέκυψαν όλα αυτά τα παράξενα πράγματα πυθαγορισμού, πλατωνισμού, αριστοτελισμού και στωϊκισμού», διαπιστώνοντας επιπλέον ότι «παρουσιάζεται το φαινόμενο πως οι πληροφορίες γίνονται πιο λεπτομερείς όσο απομακρυνόμαστε χρονικά από τον Πυθαγόρα» για να καταλήξει ότι είναι «δυσχερής μια συνεπής και θεμελιωμένη ανασυγκρότηση της σκέψης του ιστορικού Πυθαγόρα και εκείνης των πρώτων μαθητών του».^{[Βεΐκος1985, σελ. 139]}

Υπάρχουν όμως και μεμονωμένες μαρτυρίες, συζητήσεις και ανέκδοτα, που βρίσκονται χρονικά πολύ κοντά στον Πυθαγόρα. Δεν πρόκειται για προσπάθειες να καταγραφεί η ζωή και φιλοσοφία του Πυθαγόρα και των μαθητών του, όπως οι προηγούμενες πηγές. Από αυτήν την άποψη θα μπορούσε κανείς να τις χαρακτηρίσει τις πιο αξιόπιστες πηγές.

Σε αυτούς τους συγγραφείς ανήκουν ο Ξενοφάνης, ο Ηράκλειτος (6^oς–5^ος αιώνας παχχ), που ήταν σύγχρονοι του Πυθαγόρα, ο Επίχαρμος (5^ος αιώνας παχχ), ο Εμπεδοκλής (495–435 παχχ, που ήταν πυθαγόρειος), κάπως αργότερα ο Ηρόδοτος (485–415 παχχ), ο Πλάτωνας (427–347 παχχ) και ο Ισοκράτης (436–338 παχχ). Μεγάλης σημασίας είναι τα έργα του Εμπεδοκλή και εφόσον είναι αυθεντικά τα έργα του Πυθαγόρειου Φιλόλαου (470–385 παχχ).

Τα στοιχεία για την χρονολογία και τη ζωή του Πυθαγόρα είναι εξαιρετικά αντιφατικά. Σύμφωνα με την παράδοση γεννήθηκε γύρω στο 570 παχχ και έζησε:^{[Fritz1963, σελ. 179,180]}

Μετά από μια διεξοδική μελέτη των πηγών ο μελετητής της ζωής και του μαθηματικού έργου του Πυθαγόρα, Kurt von Fritz καταλήγει:^{[Fritz1963, σελ 185]}

Η Πυθαγόρεια Σχολή θεώρησε ότι μέσα από τα Μαθηματικά μπορούμε να καταλάβουμε την οργάνωση και τη λογική που διέπει τον κόσμο. Συνέλαβε μάλιστα ολόκληρο τον κόσμο ως αρμονία και αριθμό. Θεώρησε ότι η τάξη του σύμπαντος μπορεί να εκφραστεί με αριθμητικές σχέσεις.

Πολλοί ερευνητές του Πυθαγορισμού^{[Mattéi1995, σελ 78]} βλέπουν ότι είναι πολύ πιθανόν η ανάμειξη των γνήσια πυθαγόρειων δογμάτων και των αριθμητικών εικοτολογικών θεωρήσεων της Ακαδημίας του Πλάτωνα να ξεκινά με τη σύνοψη του χαμένου συγγράμματος «Περί Πυθαγορείων Αριθμών» του Σπευσίππου, διαδόχου του Πλάτωνα στη σχολή. Αυτή η ανάμειξη δεν μας επιτρέπει να δούμε ξεκάθαρα εάν ο Πλάτων πυθαγορίζει ή αν αντίθετα οι Νεοπυθαγόρειοι και Νεοπλατωνιστές πλατωνίζουν.^{[Mattéi1995, σελ 78]} Τελικά όποια και να είναι η αλήθεια, η ιστορική έρευνα καταλήγει ότι ο πυθαγορισμός απέδιδε μεγάλη σημασία στην έννοια του Αριθμού, νοούμενου ως θετικού ακεραίου. Όπως χαρακτηριστικά αναφέρεται «το αρχέγονο γνώρισμα του πυθαγορισμού έγκειται στην υπέρτατη εξουσία του Αριθμού».^{[Mattéi1995, σελ 78]}

Ο Αριστοτέλης (384–322 παχχ) που αποτελεί την κύρια πηγή μας για τον Πυθαγορισμό αναφέρεται σε πολλά σημεία του έργου του στους Πυθαγόρειους και τη σχέση τους με τον Αριθμό. Διαβάζουμε στα «Μετά τα Φυσικά» (Μ.τ.φ.) του Αριστοτέλη:

Με αυτήν την επιλογή ως αφετηρία οι Πυθαγόρειοι διαιρούσαν τον αριθμό, η ουσία του οποίου είναι η μονάδα, σε περιττούς και άρτιους. Οι περιττοί είναι πεπερασμένοι, περιορισμένοι. Οι άρτιοι είναι απεριόριστοι, άπειροι.

Ο περιττός δεν μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, για παράδειγμα ο 5 έχει συστατικό του στοιχείο τη μονάδα 2+1+2, περιορίζεται δηλαδή από τη μονάδα. Με σημερινά λόγια, αν τον διαιρέσουμε με τον 2 αφήνει πάντα υπόλοιπο τη μονάδα.

Αντίθετα ο άρτιος μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, συνεπώς δεν περιορίζεται από τη μονάδα, είναι άπειρος. Eπειδή ο άρτιος μπορεί να διαιρεθεί σε δύο μέρη χαρακτηρίζεται «θηλυκός», ενώ ο περιττός χαρακτηρίζεται «αρσενικός» αριθμός.

Ο περιττός επειδή έχει αρχή, μέση και τέλος, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα ο 5 έχει το 2 ως αρχή, το 1 μέση και το 2 τέλος, αντιπροσωπεύει την ολότητα.^{[Heidel1901, σελ 396]}

Υπάρχει επιπλέον ένας φυσικός δεσμός μεταξύ περιττών και αρτίων: Δεδομένου ότι κάθε άρτιος διαιρείται σε δύο ίσα μέρη, τα μέρη αυτά μπορούν να χωριστούν από μια ευθεία που προεκτείνεται επ᾽ αόριστον από τις δύο πλευρές. (για την σχετική αναπαράσταση των αρτίων και περιττών: ^{[Heidel1901, σελ 395]})

Αντιθέτως ο περιττός εισάγει μια διάμεση μονάδα που τον περιορίζει.

Η θεωρία των Αρτίων και Περιττών στα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλείδη (βιβλίο ΙΧ), σύμφωνα με τον Oscar Becker, είναι από ένα παλαιό μαθηματικό κομμάτι, το οποίο ο Ευκλείδης εισήγαγε χωρίς καμιά αλλαγή, που οι συγγραφείς του πιθανότατα ήταν Πυθαγόρειοι.^{[Waerden1979, σελ 3]}

Οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί συγκροτούν στην Πυθαγόρεια Φιλοσοφία το «ιερό τρίγωνο της Τετράδας» (Τετρακτύς όπως λέγεται), το άθροισμα της οποίας είναι η Δεκάδα (1 + 2 + 3 + 4 = 10), που θεωρείται από τους Πυθαγόρειους ο τέλειος αριθμός του Παντός.

Με άλλα λόγια οι τρεις διαστάσεις του χώρου έχουν αντιστοιχία σε αριθμούς. Εφ᾽ όσον τα πάντα είναι αριθμός μπορεί να αποδειχθεί ότι ο χώρος έχει αριθμητική δομή, αρκεί να εξομοιωθούν οι αριθμοί με γεωμετρικά σημεία. Παραθέτουμε μερικά παραδείγματα:

Αν στον αριθμό 1, δηλαδή σε μια κουκκίδα ή σε ένα πετραδάκι ή ένα κρύσταλλο, προσθέσουμε 3 κουκκίδες, έχουμε 4 κουκίδες και έχει σχηματιστεί ένα τετράγωνο. Αν συνεχίσουμε να προσθέτουμε 5 κουκκίδες θα πάρουμε πάλι ένα τετράγωνο με σύνολο αριθμών κουκίδων 9, δηλαδή το 3 στο τετράγωνο.

Με βάση τα παραπάνω οι Πυθαγόρειοι «μας λένε» πως το άθροισμα περιττών αριθμών είναι ένας αριθμός που έχει σχήμα τετραγώνου, «τετράγωνος» αριθμός όπως τον λέγανε. Εμείς σήμερα γράφουμε 1 + 3 + 5 + … + (2n −1) = n ².

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα, το άθροισμα αρτίων αριθμών: Αν στον αριθμό 2, δηλαδή σε δυο κουκκίδες, προστεθούν 4, παίρνουμε 6 κουκκίδες, και σχηματικά ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Αν συνεχιστεί με την πρόσθεση του 6 το ορθογώνιο επεκτείνεται.

Με άλλα λόγια, οι Πυθαγόρειοι «μας λένε» ότι το άθροισμα αρτίων αριθμών, 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n +1) είναι ένας αριθμός που έχει σχήμα ορθογώνιου, ένας «ετερομήκης» αριθμός κατά τους Πυθαγόρειους.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το άθροισμα αρτίων και περιττών αριθμών. Αν προσθέσουμε άρτιους και περιττούς κατά αύξουσα σειρά, δηλαδή 1 + 2 + 3 + 4 + … + n σχηματίζουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο, τους επονομαζόμενους «τρίγωνους» αριθμούς, που δίνουν άθροισμα 1 + 2 + 3 + … + n = n  (n +1) /2.

Αφού ο χώρος εξομοιώθηκε με αριθμούς, περνάμε στις ιδιότητες του γεωμετρικού χώρου.

Ακολουθώντας τον Πρόκλο μπορούμε να συγκεφαλαιώσουμε ως εξής τις ανακαλύψεις των Πυθαγορείων στη γεωμετρία:^{[Mattéi1995, σελ 89–101]}

Ο Αριστοτέλης αποδίδει αυτόν τον πίνακα στον Αλκμαίωνα, χωρίς να μπορεί να πει αν ο Αλκμαίων τον δανείστηκε από τους Πυθαγόρειους ή οι Πυθαγόρειοι από τον Αλκμαίωνα, ή απλώς αν ο Αλκμαίων ήταν κι αυτός Πυθαγόρειος. Το γεγονός πάντως είναι ότι ο πίνακας καταφάσκει και πάλι στην πρόταση ότι «τα αντίθετα είναι οι αρχές των όντων».^{[Mattéi1995, σελ 85]}Πιστεύεται ότι ο Πυθαγόρας ανακάλυψε το περιβόητο θεώρημα, το «πυθαγόρειο», που επίσης αποκαλείται «θεώρημα των τριών τετραγωνικών». Σύμφωνα με την παράδοση, ο Πυθαγόρας γιόρτασε την ανακάλυψή του θυσιάζοντας βόδια προς τιμήν των Μουσών. Σχετικά με το γνωστό μας Πυθαγόρειο θεώρημα θα επανέρθουμε στη συνέχεια.

Πότε και πώς ανακαλύφθηκε η ασυμμετρία δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα. Ο Πρόκλος αποδίδει την ανακάλυψη της ασυμμετρίας στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Πολύ πιθανόν ήταν ο Πάππος που σε ένα σχόλιό του αναφέρει ότι η θεωρία των αρρήτων ξεκινά στη σχολή του Πυθαγόρα.

Η αρχαιότερη σωζόμενη αναφορά περιέχεται στα «Αναλυτικά Πρότερα» του Αριστοτέλη, σύμφωνα με την οποία, εάν υποθέσουμε ότι η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου είναι σύμμετρες, τότε καταλήγουμε στην αντίφαση ότι τα άρτια γίνονται ίσα με τα περιττά, κάτι που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχει ασύμμετρη σχέση μεταξύ τους. Αυτή η «απόδειξη» προϋποθέτει όμως τη γνώση της αρρητότητας.

Το ίδιο ισχύει και στην απόδειξη που παρουσιάζεται στα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλείδη. Η τελευταία πρόταση του δέκατου βιβλίου των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ αποδεικνύει με τη βοήθεια της θεωρίας των άρτιων και περιττών και της μεθόδου της απαγωγής σε άτοπο, ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου προς την πλευρά του δεν έχουν κανένα κοινό μέτρο. Και εδώ η μέθοδος προϋποθέτει τη γνώση της αρρητότητας. Συνεπώς μια τέτοια απόδειξη δεν μπορεί να είχαν δώσει οι Πυθαγόρειοι.

Μια εκδοχή απόδειξης έχει διατυπωθεί από τον Oscar Becker.

Η ανακατασκευή του Becker μπορεί να περιγραφεί ως εξής: ^{[Χριστιανίδης2003, σελ 77]}

Οι Πυθαγόρειοι μελέτησαν το πρόβλημα της εύρεσης ορθογωνίων τριγώνων με πλευρές ακέραιους αριθμούς. Από αυτό μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα ενδιαφέρθηκαν να εξετάσουν εάν υπάρχουν ισοσκελή τρίγωνα που να ανήκουν σε αυτήν την κατηγορία. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο με α την υποτείνουσα και β τη μια από τις ίσες κάθετες πλευρές, ισχύει ότι α ² = 2β ². Παριστάνουμε το α ² με ένα τετράγωνο (Ρ ) και το β ² με ένα τετράγωνο (Q ). Γνωρίζουμε ότι ένα τετράγωνο με πλευρά άρτιο αριθμό μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα ίσα μικρότερα τετράγωνα. Χωρίζουμε το (P ) όσο και το (Q ) σε τέσσερα μικρότερα τετράγωνα. Εάν οι πλευρές των νέων τετραγώνων είναι πάλι άρτιοι, τότε επαναλαμβάνουμε πάλι τη διαδικασία μέχρι να προκύψει ένα τουλάχιστον τετράγωνο (προερχόμενο είτε από το (P ) είτε από το (Q )) με πλευρά περιττό αριθμό και επομένως που δεν μπορεί να διαιρεθεί δια του 4. Δύο περιπτώσεις μπορεί να συμβούν:

Στην περίπτωση I από το τετράγωνο P καταλήγουμε μετά από έναν αριθμό διαιρέσεων σε ένα περιττό τετράγωνο P ', ενώ σε σχέση με το Q μετά από έναν αριθμό διαιρέσεων κατλήγουμε ή στην περίπτωση Q ' το οποίο μπορεί να είναι άρτιο (περίπτωση ΙΑ) ή περιττό (περίπτωση ΙΒ). Και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει ότι ένας περιττός αριθμός είναι ίσος με το διπλάσιο ενός αριθμού άρτιου τη μια φορά και περιττού στην άλλη, κάτι το οποίο είναι αδύνατο.

Στην περίπτωση II καταλήγουμε να έχουμε ένα άρτιο τετράγωνο Ρ ', που είναι ίσο με το διπλάσιο ενός περιττού τετραγώνου Q ''. Το Ρ '' επειδή είναι άρτιο μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα μικρότερα τετράγωνα, καθένα από τα οποία είναι ίσο με r και επομένως καταλήγουμε 2r = Q '', δηλαδή άρτιος = περιττός, δηλαδή αδύνατο.

Με βάση τα παραπάνω καταλήξαμε ότι δεν υπάρχουν ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές ακέραιους, με άλλα λόγια ότι η εξίσωση α ²=2β ² δεν έχει λύση στους ακέραιους. Με άλλα λόγια ότι ο αριθμός √2 είναι άρρητος.

Πάμπολλες είναι οι αναφορές, ότι ο Πυθαγόρας απέδειξε το γνωστό θεώρημα. Επίσης είναι πολύ συχνή η αναφορά ότι ο Πυθαγόρας ανακάλυψε το πυθαγόρειο θεώρημα. Που τελειώνει ο μύθος, που αρχίζει η ιστορική αλήθεια; Που μας οδηγούν οι πηγές;

Αυτό που σίγουρα γνωρίζουμε από πηγές είναι ότι οι Αιγύπτιοι έκαναν εμπειρική χρήση αυτής της σχέσης σε κάθε τρίγωνο ξεχωριστά, χωρίς να υπάρχει από μεριάς τους μια γενική διατύπωση έστω και σε πρωταρχική μορφή, κάτι που οδηγεί αναπόφευκτα στο συμπέρασμα ότι δεν είχαν διαμορφώσει την γεωμετρική έννοια του τριγώνου και πολύ περισσότερο την έννοια της ιδιότητας ενός τριγώνου. Γνωρίζουμε επίσης για τους Βαβυλώνιους, ότι έκαναν συνεχή εφαρμογή της σχέσης σε μεμονωμένα ορθογώνια τρίγωνα. Την πρώτη μαθηματική απόδειξη της ιδιότητας βρίσκουμε στα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλείδη γύρω στο 300 παχχ, στην πρόταση 47 του 1^ου βιβλίου, πρότασης που έχει συνδεθεί με τον Πυθαγόρα και αναφέρεται ως Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Για τη σύνδεση του Πυθαγόρα με το σχετικό θεώρημα υπάρχουν πολλές αναφορές από των αρχαιοτάτων χρόνων. Ας τις δούμε: (Για τις παραπομπές και μεταφράσεις βλέπε [Σωτηρίου2017].)

Ξεκινάμε με τον Κικέρωνα τον 1^ο αιώνα παχχ:^{[ό.π., σελ. 33]}

Ο Κικέρωνας αναφέρεται σε μια ιστορία που γνωρίζει σύμφωνα με την οποία ο Πυθαγόρας έκανε μια ανακάλυψη στη γεωμετρία, χωρίς να λέει ποια είναι αυτή. Δεν τη γνωρίζει; Είναι κάτι αυτονόητο που δεν χρειάζεται να το αναφέρει; Από τις αναφορές που θα ακολουθήσουν, μάλλον δεν είναι ξεκάθαρο. Επιπλέον δεν θεωρεί ότι ο Πυθαγόρας έκανε θυσία μετά από αυτήν την ανακάλυψη.

Η μαρτυρία του Βιτρούβιου τον 1^ο αιώνα παχχ είναι πιο συγκεκριμένη:^{[ό.π., σελ. 34]}

Σύμφωνα με τον Βιτρούβιο η κατασκευή που έκανε ο Πυθαγόρας και η οποία αποτέλεσε αφορμή για θυσία, αφορά την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές 3, 4 και 5 πόδια με τα τετράγωνα στις πλευρές αυτών και τη σχέση που προκύπτει μεταξύ τους. Αυτό το χαρακτηρίζει ως ανακάλυψη γιατί σε αντίθεση με τους τεχνίτες που το κάνουν με εργαλεία, αυτός το έκανε με κανόνες. Φαίνεται ο Βιτρούβιος να αναφέρεται σε θεωρητικούς κανόνες.

Στον Πλούταρχο (1^ο–2^ο αιώνα μαχχ) βρίσκουμε την παρακάτω αναφορά:^{[ό.π., σελ. 36]}

Ο Πλούταρχος παραπέμπει στον Απολλόδωρο για την κατασκευή του Πυθαγόρα, αλλά δεν είναι σίγουρος για το αν η κατασκευή αφορούσε τη σχέση στο ορθογώνιο τρίγωνο ή το πρόβλημα της παραβολής χωρίων. Σε άλλο κείμενό του αναφέρει:^[ό.π.]

Σε αυτό το κομμάτι γίνεται ξεκάθαρη αναφορά σε γεωμετρικό θεώρημα. Ο Πλούταρχος φαίνεται πιο σίγουρος και ισχυρίζεται ότι αφορμή για την θυσία αποτέλεσε η επίλυση του προβλήματος της παραβολής. Ισχυρίζεται επίσης ότι ο Πυθαγόρας απέδειξε και τη σχέση στο ορθογώνιο τρίγωνο. Συνεπώς σύμφωνα με τον Πλούταρχο ο Πυθαγόρας απέδειξε τόσο το θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα όσο και το πρόβλημα της παραβολής.

Και ο Αθηναίος (2^ο–3^ο αιώνα μαχχ) παραπέμπει στον Απολλόδωρο αλλά θεωρεί ότι αφορμή για τη θυσία είναι η κατασκευή των τετραγώνων στις πλευρές του ορθογώνιου τρίγωνου και η ισότητα του τετραγώνου της υποτείνουσας με το άθροισμα των άλλων δύο:^{[ό.π., σελ. 37]}

Το ίδιο ακριβώς χωρίο το βρίσκουμε στο Διογένη Λαερτίου τον 3^ο αιώνα μαχχ:^{[ό.π., σελ. 38]}

Ο Πορφύριος τον 3^ο αιώνα μαχχ θα αναφερθεί σε θυσία ομοιώματος και σε ανακάλυψη σχέσης και όχι κατασκευή σχήματος:^[ό.π.]

Στα σχόλια του Νεοπλατωνιστή Πρόκλου τον 5^ο αιώνα μαχχ πάνω στην πρόταση των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ του Ευκλείδη, την Ι.47 υπάρχει και η σχετική αναφορά στον Πυθαγόρα:^[ό.π.]

Ο Πρόκλος αποφεύγει ουσιαστικά κάποιο αναλυτικό σχολιασμό στο τι έκανε ο Πυθαγόρας, λέει ότι οι προηγούμενοι σχολιαστές έχουν αναφερθεί στην ανακάλυψη του θεωρήματος από τον Πυθαγόρα και στη θυσία ενός βοδιού για να προχωρήσει αμέσως στο σχολιασμό της πρότασης από τον Ευκλείδη.

Απ᾽ όλες αυτές τις μαρτυρίες, φαίνεται ότι το έργο των συγγραφέων ήταν πολύ δύσκολο αφού είχαν να συσχετίσουν ένα τόσο σημαντικό θεώρημα με τον Πυθαγόρα, χωρίς όμως να έχουν επαρκείς πληροφορίες. Όλα σχεδόν τα κείμενα είναι βασισμένα στα λεγόμενα του Απολλοδώρου, ο οποίος αν είναι ο Απολλόδωρος ο Κυζικηνός (4^ος αιώνας παχχ), τότε η ιστορία έχει προευκλείδειες ρίζες. Επίσης, οι συγγραφείς έπρεπε να αντιμετωπίσουν το θέμα της θυσίας, γεγονός που φάνταζε αδιανόητο αφού ερχόταν σε αντίθεση τόσο με τις διατροφικές συνήθειες της σχολής της οποίας ήταν ιδρυτής ο Πυθαγόρας, όσο και της πάγιας τακτικής που ακολουθούσε ο Πυθαγόρας, δηλαδή, να μην θανατώνει ζώα.^{[ό.π., σελ. 39 κ.ε.]}

Οι τετραγωνισμοί των μηνίσκων του Ιπποκράτη του Χίου (470–410 παχχ), που χρησιμοποιεί στις αποδείξεις του ρητά διατυπωμένο ή εμμέσως εννοούμενο, το Πυθαγόρειο θεώρημα, μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι γύρω στο 430 παχχ, δηλαδή την εποχή της ακμής του Ιπποκράτη του Χίου, η γνώση του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι αναμφισβήτητη.^{[ό.π., σελ. 42 κ.ε.]}

Οι πηγές αυτές που εξετάστηκαν δεν μπορούν να μας δώσουν ξεκάθαρη εικόνα για το ποιος ήταν αυτός που απέδειξε πρώτος το λεγόμενο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Σύμφωνα με την προηγηθείσα ανάλυση, εκτιμάται ότι η αυθεντική απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος προήλθε από τον κύκλο των Πυθαγορείων, κάπου ανάμεσα στα 450 και 430 παχχ.