Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Επιστημονική επιμέλεια:
Κωνσταντίνα Ζορμπαλά

Συνεπιμέλεια:
Αντώνης Τσολομύτης


•••

Υπάρχουν εκατοντάδες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Στο βιβλίο του «The Pythagorean Proposition»[1] ο Elisha Scott Loomis παρουσιάζει 370 αποδείξεις. Εδώ παρουσιάζουμε τη απόδειξη του Ευκλείδη. Είναι καθαρά γεωμετρική, αφού βασίζεται σε σύγκριση εμβαδών, και κατά τη γνώμη μας δίνει μεγαλύτερη άνεση στην διδασκαλία του θεωρήματος, διότι επιτρέπει την κατασκευή διαφόρων εποπτικών μέσων από τους καθηγητές, κάνοντάς την προσβάσιμη και σε πρώιμα εκπαιδευτικά στάδια.

Ο Loomis, ο οποίος αφιέρωσε τη ζωή του στη συλλογή των αποδείξεων, γράφει μεταξύ άλλων για την απόδειξη του Ευκλείδη: «Λογικά, καλύτερη απόδειξη από αυτή του Ευκλείδη δεν γίνεται να βρεθεί», ενώ λίγο παρακάτω μέμφεται τα βιβλία που δεν την παρουσιάζουν: «Υποθέτω ότι ο συγγραφέας επιθυμεί να δείξει την πρωτοτυπία της σκέψης του και την ανεξαρτησία του... Δείχνει όμως κάτι άλλο. Η παράλειψη της απόδειξης του Ευκλείδη είναι σαν το έργο του Άμλετ να έχει αφήσει τον Άμλετ εκτός».[1, σελ. 119-120]


Πριν παρουσιάσουμε την λεπτομερή απόδειξη του Ευκλείδη[2] ας περιγράψουμε την ιδέα της απόδειξης (δείτε σχήμα):

  1. Φέρνουμε την ΑΛ κάθετη στη ΔΕ. Η ιδέα είναι ότι έτσι χωρίζουμε το τετράγωνο της υποτείνουσας σε δύο ορθογώνια παραληλόγραμμα. Θα δείξουμε ότι το ΒΙΛΔ και το ΑΒΖΗ έχουν το ίδιο εμβαδόν, και ομοίως τα ΙΓΕΛ και ΑΓΚΘ.
  2. Φέρνουμε τις ΑΔ και ΖΓ. Τα τρίγωνα ΒΖΓ και ΒΑΔ είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία (BZ = BA και ΒΓ = ΒΔ), ενώ οι περιεχόμενες γωνίες ΖΒΓ και ΑΒΔ είναι και αυτές ίσες, αφού ισούνται με 1 ορθή συν την γωνία ΑΒΓ. Άρα τα τρίγωνα αυτά έχουν ίσα εμβαδά.
  3. Αλλά καθένα από αυτά έχει εμβαδόν ίσο με το μισό του αντίστοιχου ορθογωνίου. Συγκεκριμένα το τρίγωνο ΒΖΓ έχει κοινή βάση με το ΑΒΖΗ (την ΒΖ) και το ίδιο ύψος (το ΑΒ, διότι τα Γ,Α,Η είναι συνευθειακά, αφού η γωνία ΓΑΗ ισούται με 2 ορθές)· και το τρίγωνο ΑΒΔ έχει ίδια βάση με το ΒΙΛΔ (την ΒΔ) και ίδιο ύψος (το ΔΛ).
  4. Άρα τα πορτοκαλί χωρία έχουν ίσα εμβαδά αφού το εμβαδόν τους είναι διπλάσιο από το εμβαδό ίσων τριγώνων. Ομοίως και τα κίτρινα χωρία έχουν μεταξύ τους ίσο εμβαδόν και το δείχνουμε φέρνοντας τις ΑΕ και ΒΚ, και συγκρίνοντας τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΒΚΓ τόσο μεταξύ τους όσο και με τα κίτρινα χωρία.


Το κείμενο από τον Ευκλείδη

μζʹ

Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
Η μετάφραση του Ε. Σταμάτη

47.

Εἰς τὰ ὀρθογώνια τρίγωνα τὸ τετράγωνον τὸ ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρᾶς εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τὰ ὁποῖα ἀναγράφονται ἀπὸ τὰς πλευρὰς αἱ ὁποῖαι περιέχουν τὴν ὀρθὴν γωνίαν (πυθαγόρειον θεώρημα).
Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾿ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ [ἐστιν] ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ [ἐστὶ] τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. [τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·] ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.
Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν [γωνίαν] περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Ἔστω ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν τὴν ΒΑΓ, λέγω, ὃτι τὸ τετράγωνον τὸ ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ΒΓ, εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τ’ ἀναγραφόμενα ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.
Διότι, ἂς ἀναγραφῇ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τὸ τετράγωνον ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ, τὰ ΗΒ, ΘΓ
(θεώρ. 46)Ἐπὶ δοθείσης εὐθείας ν’ ἀναγραφῇ τετράγωνον.
καὶ διὰ τοῦ Α ἂς ἀχθῇ ἡ ΑΛ παράλληλος πρὸς ἑκάστην τῶν ΒΔ, ΓΕ
(θεώρ. 31)Διὰ δοθέντος σημείου, ν’ ἀχθῇ εὐθεῖα παράλληλος πρὸς δοθεῖσαν εὐθεῖαν.
· καὶ ἂς ἀχθοῦν αἱ ΑΔ, ΖΓ. Καὶ ἐπειδὴ ἑκάστη τῶν γωνιῶν ΒΑΓ, ΒΑΗ εἶναι ὀρθὴ, ἐκ τῆς εὐθείας ΒΑ καὶ τοῦ ἐπ’ αὐτῆς σημείου Α ἔχουν ἀχθῆ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ κείμεναι πρὸς τὰ αὐτὰ μέρη αὐτῆς, αἱ ὁποῖαι σχηματίζουν τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας πρὸς δύο ὀρθάς· ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΗ κεῖνται ἐπ’ εὐθείας
(θεώρ. 14) Ἐὰν ἔκ τινὸς εὐθείας καὶ ἐκ σημείου ἐπ' αὐτῆς κειμένου ἀχθοῦν δύο εὐθεῖαι, μὴ κείμεναι πρὸς τὸ αὐτὸ μέρος τῆς εὐθείας, αἱ ὁποῖαι νὰ σχηματίζουν τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας δύο ὀρθάς, αἱ ἀγόμεναι εὐθεῖαι κεῖνται ἐπ' εὐθείας.
. Διὰ τὸν αὐτὸν λόγον κεῖνται ἐπ’ εὐθείας αἱ ΒΑ, ΑΘ. Καὶ ἐπειδὴ ἡ γωνία ΔΒΓ εἶναι ἴση πρὸς τὴν ΖΒΑ, διότι ἑκάστη εἶναι ὀρθή· ἂς προστεθῇ εἰς ἐκάστην τούτων ἡ κοινὴ ΑΒΓ· ἄρα ὅλη ἡ ΔΒΑ εἶναι ἴση πρὸς ὅλην τὴν ΖΒΓ
(κ. ἔν. 2)Καὶ ἐὰν εἰς ἴσα προστεθοῦν ἴσα τὰ προκύπτοντα εἶναι μεταξύ των ἴσα.
. Καὶ ἐπειδὴ ἡ μὲν ΔΒ εἶναι ἴση πρὸς τὴν ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΑ, αἱ δύο πλευραὶ ΔΒ, ΒΑ εἶναι ἴσαι ἀντιστοίχως πρὸς τὰς ΖΒ, ΒΓ καὶ ἡ γωνία ΔΒΑ εἶναι ἴση πρὸς τὴν ΖΒΓ· ἄρα ἡ βάσις ΑΔ εἶναι ἴση πρὸς τὴν βάσιν ΖΓ, καὶ τὸ τρίγωνον ΑΒΔ εἶναι ἴσον πρὸς τὸ τρίγωνον ΖΒΓ
(θεώρ. 4) Ἐὰν δύο τρίγωνα ἔχουν τὰς δύο αὐτῶν πλευρὰς ἴσας ἀντιστοίχως και ἔχουν τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν περιεχομένην γωνίαν ἴσην, θὰ ἔχουν καὶ τὰς βάσεις ἴσας καὶ τὸ ἓν τρίγωνον θὰ εἶναι ἴσον πρὸς τὸ ἄλλο καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τούτων θὰ εἶναι ἀντιστοίχως ἴσαι, αἱ κείμεναι ἀπέναντι τῶν ἴσων πλευρῶν.
· καὶ εἶναι τοῦ μὲν τριγώνου ΑΒΔ τὸ παραλληλόγραμμον ΒΛ διπλάσιον διότι ἔχουν τὴν αὐτὴν βάσιν τὴν ΒΔ καὶ εὐρίσκονται μεταξὺ τῶν αὐτῶν παραλλήλων τῶν ΒΔ, ΑΛ
(θεώρ. 41) Ἐὰν παραλληλόγραμμον ἔχῃ τὴν αὐτὴν βάσιν μὲ τρίγωνον καὶ εἶναι ταῦτα μεταξὺ τῶν αὐτῶν παραλλήλων, τὸ παραλληλόγραμμον εἶναι διπλάσιον τοῦ τριγώνου.
· τοῦ δὲ τριγώνου ΖΒΓ τὸ τετράγωνον ΗΒ εἶναι διπλάσιον διότι πάλιν ἔχουν τὴν αὐτὴν βάσιν τὴν ΖΒ καὶ εὐρίσκονται μεταξὺ τῶν αὐτῶν παραλλήλων, τῶν ΖΒ, ΗΓ [τὰ δὲ διπλάσια τῶν ἴσων εἶναι ματαξὺ τῶν ἴσα]· ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον ΒΛ εἶναι ἴσον πρὸς τὸ τετράγωνον ΗΒ. Καθ’ ὅμοιον τρόπον θ’ ἀποδειχθῇ, ἐὰν ἀχθοῦν αἱ ΑΕ, ΒΚ, ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον ΓΛ εἶναι ἴσον πρὸς τὸ τετράγωνον ΘΓ· ἄρα ὅλον τὸ τετράγωνον ΒΔΕΓ εἶναι ἴσον πρὸς δύο τετράγωνα, τὰ ΗΒ, ΘΓ
(κ. ἔν. 2)Καὶ ἐὰν εἰς ἴσα προστεθοῦν ἴσα τὰ προκύπτοντα εἶναι μεταξύ των ἴσα.
. Καὶ τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἔχει ἀναγραφῆ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. Ἄρα τὸ τετράγωνον τό ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς πλευρᾶς ΒΓ εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τ’ ἀναγραφόμενα ἀπὸ τῶν πλευρῶν ΒΑ, ΑΓ.
Εἰς τὰ ὀρθογώνια ἄρα τρίγωνα τὸ τετράγωνον τὸ ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρᾶς εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τ’ ἀναγραφόμενα ἀπὸ τῶν πλευρῶν αἱ ὁποῖαι περιέχουν τὴν ὀρθὴν γωνίαν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.


Ενδεικτική Βιβλιογραφία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ξενόγλωσση:
  1. Loomis, E. S. (1968). The Pythagorean Proposition. Washington DC: National Counsil of Teachers of Mathematics.
    https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED037335.pdf

Ελληνόγλωσση
  1. Σταμάτης, Ε. (1952). Εὐκλείδου Γεωμετρία, Στοιχείων-Βιβλία 1, 2, 3, 4. Τόμος 1. Αθήνα: Εκδόσεις Σάκκουλα.