Το Πυθαγόρειο Θώρημα

Υπάρχουν εκατοντάδες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Στο βιβλίο του «The Pythagorean Proposition»^[1] ο Elisha Scott Loomis παρουσιάζει 370 αποδείξεις. Εδώ παρουσιάζουμε τη απόδειξη του Ευκλείδη. Είναι αναλυτικού ύφους και κατά τη γνώμη μας, αφού βασίζεται σε σύγκριση εμβαδών, και δίνει μεγαλύτερη άνεση στην διδασκαλία του θεωρήματος, διότι επιτρέπει την κατασκευή διαφόρων εποπτικών μέσων από τους καθηγητές, κάνοντάς την προσβάσιμη και σε πρώιμα εκπαιδευτικά στάδια.

Ο Loomis, ο οποίος αφιέρωσε τη ζωή του στη συλλογή των αποδείξεων, γράφει μεταξύ άλλων για την απόδειξη του Ευκλείδη: «Λογικά, καλύτερη απόδειξη από αυτή του Ευκλείδη δεν γίνεται να βρεθεί», ενώ λίγο παρακάτω μέμφεται τα βιβλία που δεν την παρουσιάζουν: «Υποθέτω ότι ο συγγραφέας επιθυμεί να δείξει την πρωτοτυπία της σκέψης του και την ανεξαρτησία του... Δείχνει όμως κάτι άλλο. Η παράλειψη της απόδειξης του Ευκλείδη είναι σαν το έργο του Άμλετ να έχει αφήσει τον Άμλετ εκτός».^{[1, σελ. 119-120]}

Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.

Εἰς τὰ ὀρθογώνια τρίγωνα τὸ τετράγωνον τὸ ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρᾶς εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τὰ ὁποῖα ἀναγράφονται ἀπὸ τὰς πλευρὰς αἱ ὁποῖαι περιέχουν τὴν ὀρθὴν γωνίαν (πυθαγόρειον θεώρημα).

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.

Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾿ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ [ἐστιν] ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ [ἐστὶ] τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. [τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·] ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.

Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν [γωνίαν] περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ἔστω ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν τὴν ΒΑΓ, λέγω, ὃτι τὸ τετράγωνον τὸ ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ΒΓ, εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τ’ ἀναγραφόμενα ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.

Διότι, ἂς ἀναγραφῇ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τὸ τετράγωνον ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ, τὰ ΗΒ, ΘΓ καὶ διὰ τοῦ Α ἂς ἀχθῇ ἡ ΑΛ παράλληλος πρὸς ἑκάστην τῶν ΒΔ, ΓΕ · καὶ ἂς ἀχθοῦν αἱ ΑΔ, ΖΓ. Καὶ ἐπειδὴ ἑκάστη τῶν γωνιῶν ΒΑΓ, ΒΑΗ εἶναι ὀρθὴ, ἐκ τῆς εὐθείας ΒΑ καὶ τοῦ ἐπ’ αὐτῆς σημείου Α ἔχουν ἀχθῆ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ κείμεναι πρὸς τὰ αὐτὰ μέρη αὐτῆς, αἱ ὁποῖαι σχηματίζουν τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας πρὸς δύο ὀρθάς· ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΗ κεῖνται ἐπ’ εὐθείας . Διὰ τὸν αὐτὸν λόγον κεῖνται ἐπ’ εὐθείας αἱ ΒΑ, ΑΘ. Καὶ ἐπειδὴ ἡ γωνία ΔΒΓ εἶναι ἴση πρὸς τὴν ΖΒΑ, διότι ἑκάστη εἶναι ὀρθή· ἂς προστεθῇ εἰς ἐκάστην τούτων ἡ κοινὴ ΑΒΓ· ἄρα ὅλη ἡ ΔΒΑ εἶναι ἴση πρὸς ὅλην τὴν ΖΒΓ (κ. ἔν. 2). Καὶ ἐπειδὴ ἡ μὲν ΔΒ εἶναι ἴση πρὸς τὴν ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΑ, αἱ δύο πλευραὶ ΔΒ, ΒΑ εἶναι ἴσαι ἀντιστοίχως πρὸς τὰς ΖΒ, ΒΓ καὶ ἡ γωνία ΔΒΑ εἶναι ἴση πρὸς τὴν ΖΒΓ· ἄρα ἡ βάσις ΑΔ εἶναι ἴση πρὸς τὴν βάσιν ΖΓ, καὶ τὸ τρίγωνον ΑΒΔ εἶναι ἴσον πρὸς τὸ τρίγωνον ΖΒΓ · καὶ εἶναι τοῦ μὲν τριγώνου ΑΒΔ τὸ παραλληλόγραμμον ΒΛ διπλάσιον διότι ἔχουν τὴν αὐτὴν βάσιν τὴν ΒΔ καὶ εὐρίσκονται μεταξὺ τῶν αὐτῶν παραλλήλων τῶν ΒΔ, ΑΛ · τοῦ δὲ τριγώνου ΖΒΓ τὸ τετράγωνον ΗΒ εἶναι διπλάσιον διότι πάλιν ἔχουν τὴν αὐτὴν βάσιν τὴν ΖΒ καὶ εὐρίσκονται μεταξὺ τῶν αὐτῶν παραλλήλων, τῶν ΖΒ, ΗΓ [τὰ δὲ διπλάσια τῶν ἴσων εἶναι ματαξὺ τῶν ἴσα]· ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον ΒΛ εἶναι ἴσον πρὸς τὸ τετράγωνον ΗΒ. Καθ’ ὅμοιον τρόπον θ’ ἀποδειχθῇ, ἐὰν ἀχθοῦν αἱ ΑΕ, ΒΚ, ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον ΓΛ εἶναι ἴσον πρὸς τὸ τετράγωνον ΘΓ· ἄρα ὅλον τὸ τετράγωνον ΒΔΕΓ εἶναι ἴσον πρὸς δύο τετράγωνα, τὰ ΗΒ, ΘΓ (κ. ἔν. 2). Καὶ τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἔχει ἀναγραφῆ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. Ἄρα τὸ τετράγωνον τό ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς πλευρᾶς ΒΓ εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τ’ ἀναγραφόμενα ἀπὸ τῶν πλευρῶν ΒΑ, ΑΓ.

Εἰς τὰ ὀρθογώνια ἄρα τρίγωνα τὸ τετράγωνον τὸ ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρᾶς εἶναι ἴσον πρὸς τὰ τετράγωνα τ’ ἀναγραφόμενα ἀπὸ τῶν πλευρῶν αἱ ὁποῖαι περιέχουν τὴν ὀρθὴν γωνίαν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Το ενδιαφέρον της απόδειξης είναι ότι χωρίζει το τετράγωνο της υποτείνουσας σε δύο ορθογώνια, καθένα από τα οποία έχει εμβαδό ίσο με το αντίστοιχο εμβαδό του τετραγώνου των κάθετων πλευρών: φέρνουμε την ΑΛ κάθετα στην ΔΕ. Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί αν αποδείξουμε ότι |ΒΙΛΔ| = |ΑΒΖΗ| (τα «πορτοκαλί» εμβαδά στο παραπάνω σχήμα είναι ίσα). Τα «κίτρινα» εμβαδά θα προκύψουν ίσα με την ίδια διαδικασία.

Η όμορφη παρατήρηση του Ευκλείδη είναι ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ είναι το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου ΒΙΛΔ, διότι το τρίγωνο αυτό έχει την ίδια βάση με το ορθογώνιο (την ΒΔ) και το ίδιο ύψος (το ΔΛ).

Ομοίως, το τρίγωνο ΖΒΓ έχει εμβαδόν ίσο πάλι με το μισό του τετραγώνου ΑΒΖΗ διότι έχουν κοινή βάση (την ΒΖ) και ίδιο ύψος (το ΑΒ).

Μένει να δειχθεί ότι τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν ίσο εμβαδόν. Αλλά τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα! Πράγματι, έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία (ΒΔ = ΒΓ και ΒΑ = ΒΖ) και ίσες τις περιεχόμενες γωνίες με κορυφή το Β, αφού καθεμιά από αυτές ισούται με 1 ορθή συν την γωνία Β του τριγώνου ΑΒΓ. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα